Техника вычисления интеграла Мора

Перемножение эпюр

Если жесткость стержня на рассматриваемом участке длиной l постоянна, то в формуле Мора (2.13) жесткость выносится за знак интеграла

.                                              (2.14)

Если хотя бы одна из подынтегральных функций – линейная, то вычисление интеграла Мора упрощается.

Разместим начало координат в т. О (рис. 2.10).

Тогда . Интеграл в формуле (2.14) запишется так:

.                              (2.15)

Обозначив , получим . Интеграл  – статический момент площади эпюры относительно оси y. Тогда . Так как , а , то

.                                                (2.16)

Таким образом, интеграл Мора может быть вычислен перемножением площади криволинейной эпюры на ординату линейной эпюры , взятую под центром тяжести криволинейной эпюры.

Если обе эпюры и линейны, то безразлично по какой из них определять площадь , а по какой – ординату .

Этот прием вычисления интеграла Мора называется перемножением эпюр по правилу Верещагина.

Знак произведения принимается положительным, если центр тяжести площади , и ордината расположены по одну сторону от оси z. Если это условие не выполняется, значение интеграла получается отрицательным. В пособии принято ординаты на эпюрах и располагать со стороны растянутого волокна изогнутого стержня.

В табл. 2.1 приведены значения площадей для некоторых часто встречающихся эпюр и положение центра тяжести этих эпюр по оси z.

Таблица 2.1

Площади и положение центров тяжести основных геометрических фигур

Вид эпюры

Если подынтегральные функции , – линейны (рис. 2.11), то интеграл Мора можно выразить через величины концевых ординат , , , . Разделив эпюры на два треугольника с катетами , и эпюру на два треугольника с катетами , (рис. 2.11), запишем .

Подставляя значения , , , из рис. 2.11

;

получим

Для стержня постоянной жесткости по длине перемещение в этом случае определяется по формуле

.                  (2.17)

Рассмотрим вычисление интеграла Мора перемножением эпюр с использованием ординат a1, a2, a3, b1, b2, b3 для варианта, когда одна из подынтегральных функций – – нелинейна и представлена квадратной параболой, другая – – линейна в пределах перемножаемого участка (рис. 2.12). Разделим эпюру на две фигуры – трапецию с ординатами a1 и a3 по границам участка и параболу с ординатой c в середине участка l. Используя выражения (2.16) и (2.17), запишем

 

Заменив , где , ,

запишем:

После преобразований получим:

.

Перемещение  ₁₀ для изогнутого стержня постоянной жесткости EJ длиной l в этом случае может быть вычислено по формуле

.                                    (2.18)

Знаки произведений в формуле (2.18) будут положительными, если ординаты в перемножаемых эпюрах однозначны – располагаются по одну сторону от оси стержня z. Если ординаты a_i, b_i располагаются по разные стороны от оси z, то знак произведений следует брать отрицательный.

Таблица 2.2

Значение интеграла Мора при различных видах
подынтегральных функций

Эпюра от заданной нагрузки	Эпюра от единичного воздействия	Значение интеграла Мора

В табл. 2.2 приведены некоторые значения интеграла Мора, полученные перемножением эпюр и по правилу Верещагина

2.3.2. Матричная форма интеграла Мора

При реализации машинных алгоритмов по расчету сложных стержневых систем на ПЭВМ определение перемещений производится по формулам, отличным от приведенных в п. 2.3.1. Используется новая форма с применением матричных преобразований, легко поддающихся программированию.

Получим матричную запись интеграла Мора в формуле для определения перемещений в случае, когда перемножаемые эпюры представляются линейными функциями, жесткость в пределах участка постоянна (см. рис. 2.11).

Решение интеграла Мора для этого случая (2.17)

представим произведением трех матриц:

                .                                                                         (2.19)

В формуле (2.19) M₁ – матрица-столбец, элементами которой являются ординаты эпюры по границам участка. При одном участке эта матрица имеет вид

                                      .

Матрица M₂ – матрица-столбец, элементами которой являются концевые ординаты эпюры на участке (см. рис. 2.11):

                                      .

Матрица G называется матрицей податливости и имеет для рассматриваемого варианта перемножения эпюр , в стержне длиной l квадратную форму размером 2 x 2:

.                                    (2.20)

Для того чтобы убедиться в том, что матричное произведение (2.19) приводит к формуле (2.17), выполним указанные матричные операции.

 – транспонированная матрица, получаемая перестановкой столбца матрицы M₁ в строку:

.

Вычислим произведения матриц :

.

Матрица С для рассматриваемого примера представляется одной строкой с двумя элементами.

Умножая матрицу C на матрицу M₂, получим

,

формулу Мора (2.17) для определения  ₁₂ при перемножении двух линейных эпюр , , в матричной форме:

.                                 (2.21)

Результат перемножения двух эпюр, одна из которых очерчена квадратной параболой, другая – линейная при постоянной жесткости стержня представим таким же матричным произведением:

.                                                                 (2.22)

Здесь M₁ – матрица-столбец из трех равноотстоящих ординат
линейной эпюры b₁, b₂, b₃ (см. рис. 2.12):

.

Матрица M₀ – матрица-столбец, составленная из трех равноотстоящих ординат эпюры (см. рис. 2.12):

.

Матрица G – матрица податливости для стержня постоянной жесткости имеет квадратную форму размером 3x 3:

.                                                (2.23)

Покажем, что матричное произведение (2.22), вычисляемое с использованием приведенных выше матриц M₁, G, M₀ для стержня длиной l, приводит к формуле (2.18). Вычислим матрицу :

.

Умножая матрицу-строку С на матрицу-столбец M₀, получим

.

Этот результат совпадает со значением  ₁₀, вычисленным по формуле (2.18).

Покажем особенности формирования матрицы податливости G при расчете стержневых систем с криволинейными элементами переменной жесткости. В общем случае все три подынтегральные функции в формуле Мора могут быть криволинейными.

Обозначим усилия в сечениях стержня S_i ( ), S_j ( ), S₀( ) (M_изг, M_кр, N), жесткость поперечного сечения – D( ) (EJ_x, EA, GJ ). Тогда интеграл Мора запишется в виде

.                                                          (2.24)

Представим подынтегральные функций Si ( ), Sj ( ), D ( ) в выражении (2.24) степенными полиномами на участке стержня длиной  l (рис. 2.13) ,                   (2.25) ,                  (2.26) ,                     (2.27) где .

Коэффициенты a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃, c₁, c₂, c₃ определяются из условия прохождения функций S_i ( ), S_j ( ), D( ) через фиксированные ординаты в трех равноотстоящих точках на участке. Например, для функции S_i ( )

                                (2.28)

Аналогично определяются и коэффициенты b_k, c_k.

Интеграл (2.13) после подстановки функций S_i ( ), S_j ( ), D( ) в пределах  =0 1 по формулам (2.25), (2.26), (2.27) имеет решение, которое можно представить в матричной форме:

где S_i, S_j – матрицы-столбцы из трех равноотстоящих ординат эпюр S_i, S_j на участке. Матрица податливости G – квадратная размером 3x 3:

                                                        (2.30)

Матрица G симметрична относительно главной диагонали, элементы ее определяются по формулам:

                              (2.31)

В выражениях (2.31)                              .                              (2.32)

Здесь при , (см. рис. 2.13).

Для случая, если в выражении (2.31) какая-либо функция линейна, формирование матрицы податливости упрощается.

Значения элементов матрицы податливости (2.30) при различных сочетаниях  ₁,  ₂ в диапазоне от 0,05 до 2 с интервалом 0,05 приведены в работе [16].

При вычислении перемещений в стержневой системе от изгибных деформаций должны быть просуммированы результаты перемножения эпюр по всем участкам.      В матричной форме это выполняется операцией с полными матрицами M₁, M₀, G. Полные матрицы формируются из соответствующих матриц для каждого участка.

Если расчетная схема состоит их нескольких стержней и имеет n участков на эпюрах , , и , , , соответствующих приведенным на рис. 2.11, 2.12, а жесткости каждого участка постоянны, то при определении m различных перемещений от p загружений матрицы M₁, M₀, G формируются из блоков (2.20), (2.23) (рис. 2.14).

Порядок матрицы и искомой матрицы  = СМ₀ показан на рис. 2.15.

 

Рис. 2.14. Структура исходных матриц , ,

Рис. 2.15. Порядок матрицы С и матрицы перемещений 

    Пример 2.4. Требуется определить вектор перемещений узла С рамы (рис. 2.16) по матричной формуле

. Решение. 1. Покажем вспомогательные состояния рамы, нагружая ее единичными силами по направлению определяемых перемещений, и строим эпюры , , от этих загружений (рис. 2.17, а, б, в), эпюру от заданной нагрузки (рис. 2.17, г).

   

2. Назначим количество расчетных сечений исходя из вида эпюр , , , и заданных жесткостей стержней рамы. Для решаемой задачи необходимо принять 5 сечений (рис. 2.18). Объединять сечения 2 и 3 в одно сечение нельзя, потому что жесткости стержней, сходящихся в узле В, различны. Необходимо условиться с определением знака ординат. В данной задаче эпюры моментов расположены с внешней стороны контура рамы, эти ординаты и принимаем положительными.

3. Формируем матрицы столбцов M₁, M₀

    Формируем матрицу податливости G для каждого участка.

    На участке 1–2 все эпюры линейны, поэтому матрица податливости этого участка квадратная 2 x 2 записывается по формуле (2.20):

    На участке ВС с криволинейной эпюрой матрица податливости будет иметь размеры 3 x 3 по формуле (2.23):

.

    При объединении автономных блоков матрицы податливости для каждого участка в общую матрицу податливости для всей рамы необходимо сделать единый множитель перед всеми блоками. Для этого G₁₂ преобразуем так:

.

    Полная матрица податливости при определении вектора перемещений узла С для заданной рамы

.

    5. Выполняем матричные операции алгоритма , перемножая вначале первые две матрицы. Полученное произведение матриц обозначим матрицей

    Произведение матриц дает искомый вектор перемещений:

    Матричный алгоритм вычисления перемещений рационален при его реализации на ПЭВМ, поскольку при этом используются стандартные программы матричных операций, к тому же блок матрицы перемещений входит в единый автоматизированный матричный алгоритм расчета статически неопределимых систем на ПЭВМ:

                                    ,                                   (2.33)

об использовании которого при расчете неразрезных балок см. разд. 9.