Техника вычисления интеграла Мора

Перемножение эпюр Image2224

Если жесткость стержня на рассматриваемом участке длиной l постоянна, то в формуле Мора (2.13) жесткость выносится за знак интеграла

Image2225 .                                              (2.14)

Если хотя бы одна из подынтегральных функций Image2226 – линейная, то вычисление интеграла Мора упрощается.

Разместим начало координат в т. О (рис. 2.10).

Тогда Image2227 . Интеграл в формуле (2.14) запишется так:

Image2228 .                              (2.15)

2.10.gif (4928 bytes)     Обозначив Image2229 , получим Image2230 .

Интеграл Image2231  – статический момент площади эпюры Image2232 относительно оси y. Тогда

Image2233 .

Так как Image2234 , а Image2235 , то

Image2236 .                                                (2.16)

Таким образом, интеграл Мора может быть вычислен перемножением площади криволинейной эпюры Image2237на ординату линейной эпюры Image2238, взятую под центром тяжести криволинейной эпюры.

Если обе эпюры Image2239 и Image2240 линейны, то безразлично по какой из них определять площадь Image2241 , а по какой – ординату Image2242 .

Этот прием вычисления интеграла Мора называется перемножением эпюр по правилу Верещагина.

Знак произведения Image2243 принимается положительным, если центр тяжести площади Image2244 , и ордината Image2245 расположены по одну сторону от оси z. Если это условие не выполняется, значение интеграла получается отрицательным. В пособии принято ординаты на эпюрах Image2239 и Image2246 располагать со стороны растянутого волокна изогнутого стержня.

В табл. 2.1 приведены значения площадей Image2247 для некоторых часто встречающихся эпюр Image2248 и положение центра тяжести этих эпюр по оси z.

Таблица 2.1

Площади и положение центров тяжести основных геометрических фигур

Вид эпюры Image2249 Image2250 Image2251
2.10a.gif (6396 bytes) Image2252 Image2253
Image2254 Image2255
Image2256 Image2258
Image2259 Image2260
Image2261 Image2262
2.11.gif (3662 bytes) Если подынтегральные функции Image2240 , Image2263 – линейны (рис. 2.11), то интеграл Мора

Image2264

можно выразить через величины концевых ординат Image2265 , Image2266 , Image2267 , Image2268.

Разделив эпюры Image2240 на два треугольника с катетами Image2269 , Image2270 и эпюру Image2272 на два треугольника с катетами Image2273 , Image2274 (рис. 2.11), запишем

Image2275 .

Подставляя значения Image2276 , Image2277 , Image2278 , Image2279 из рис. 2.11

Image2280 ; Image2281

Image2282

получим

Image2283

Для стержня постоянной жесткости по длине перемещение Image2193 в этом случае определяется по формуле

Image2284 .                  (2.17)

2.12.gif (3931 bytes) Рассмотрим вычисление интеграла Мора перемножением эпюр с использованием ординат a1, a2, a3, b1, b2, b3 для варианта, когда одна из подынтегральных функций – Image2232 – нелинейна и представлена квадратной параболой, другая – Image2240 – линейна в пределах перемножаемого участка (рис. 2.12).

Разделим эпюру Image2285 на две фигуры – трапецию с ординатами a1 и a3 по границам участка и параболу с ординатой c в середине участка l. Используя выражения (2.16) и (2.17), запишем

Image2286

 

Заменив Image2287 , где Image2288 , Image2289 ,

запишем:

Image2290

Image2291

После преобразований получим:

Image2292 .

Перемещение  10 для изогнутого стержня постоянной жесткости EJ длиной l в этом случае может быть вычислено по формуле

Image2293 .                                    (2.18)

Знаки произведений в формуле (2.18) будут положительными, если ординаты в перемножаемых эпюрах однозначны – располагаются по одну сторону от оси стержня z. Если ординаты ai, bi располагаются по разные стороны от оси z, то знак произведений следует брать отрицательный.

Таблица 2.2

Значение интеграла Мора при различных видах
подынтегральных функций

Эпюра Image2294.gif (963 bytes)

от заданной

нагрузки

Эпюра от единичного

воздействия

Image2295

Значение

интеграла Мора

Image2296

2.12a.gif (7664 bytes) Image2297
Image2298
Image2299
Image2300
Image2301

В табл. 2.2 приведены некоторые значения интеграла Мора, полученные перемножением эпюр Image2302 и Image2303 по правилу Верещагина

2.3.2. Матричная форма интеграла Мора

При реализации машинных алгоритмов по расчету сложных стержневых систем на ПЭВМ определение перемещений производится по формулам, отличным от приведенных в п. 2.3.1. Используется новая форма с применением матричных преобразований, легко поддающихся программированию.

Получим матричную запись интеграла Мора в формуле для определения перемещений в случае, когда перемножаемые эпюры представляются линейными функциями, жесткость в пределах участка постоянна (см. рис. 2.11).

Решение интеграла Мора для этого случая (2.17)

Image2304

представим произведением трех матриц:

                Image2305 .                                                                         (2.19)

В формуле (2.19) M1 – матрица-столбец, элементами которой являются ординаты эпюры Image2187 по границам участка. При одном участке эта матрица имеет вид

                                      Image2306 .

Матрица M2 – матрица-столбец, элементами которой являются концевые ординаты эпюры Image2307 на участке (см. рис. 2.11):

                                      Image2308 .

Матрица G называется матрицей податливости и имеет для рассматриваемого варианта перемножения эпюр Image2187 , Image2309 в стержне длиной l квадратную форму размером 2 x 2:

Image2310 .                                    (2.20)

Для того чтобы убедиться в том, что матричное произведение (2.19) приводит к формуле (2.17), выполним указанные матричные операции.

Image2311  – транспонированная матрица, получаемая перестановкой столбца матрицы M1 в строку:

Image2312 .

Вычислим произведения матриц Image2313 :

Image2314 .

Матрица С для рассматриваемого примера представляется одной строкой с двумя элементами.

Умножая матрицу C на матрицу M2, получим

Image2315 ,

формулу Мора (2.17) для определения  12 при перемножении двух линейных эпюр Image2187 , Image2309 , в матричной форме:

Image2316 .                                 (2.21)

Результат перемножения двух эпюр, одна из которых очерчена квадратной параболой, другая – линейная при постоянной жесткости стержня представим таким же матричным произведением:

Image2317 .                                                                 (2.22)

Здесь M1 – матрица-столбец из трех равноотстоящих ординат
линейной эпюры Image2318b1, b2, b3 (см. рис. 2.12):

Image2319 .

Матрица M0 – матрица-столбец, составленная из трех равноотстоящих ординат эпюры Image2215 (см. рис. 2.12):

Image2320 .

Матрица G – матрица податливости для стержня постоянной жесткости имеет квадратную форму размером 3x 3:

Image2321 .                                                (2.23)

Покажем, что матричное произведение (2.22), вычисляемое с использованием приведенных выше матриц M1, G, M0 для стержня длиной l, приводит к формуле (2.18). Вычислим матрицу Image2322 :

Image2323 .

Умножая матрицу-строку С на матрицу-столбец M0, получим

Image2324 .

Этот результат совпадает со значением  10, вычисленным по формуле (2.18).

Покажем особенности формирования матрицы податливости G при расчете стержневых систем с криволинейными элементами переменной жесткости. В общем случае все три подынтегральные функции в формуле Мора могут быть криволинейными.

Обозначим усилия в сечениях стержня Si ( ), Sj ( ), S0( ) (Mизг, Mкр, N), жесткость поперечного сечения – D( ) (EJx, EA, GJ ). Тогда интеграл Мора запишется в виде

Image2325 .                                                          (2.24)

2.13.gif (3769 bytes)  

Представим подынтегральные функций Si ( ), Sj ( ), D ( ) в выражении (2.24) степенными полиномами на участке стержня длиной  l (рис. 2.13)

Image2326 ,                   (2.25)

Image2327 ,                  (2.26)

Image2328 ,                     (2.27)

где Image2329 .

 

Коэффициенты a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3 определяются из условия прохождения функций S( ), S( ), D( ) через фиксированные ординаты в трех равноотстоящих точках на участке. Например, для функции S( )

Image2330                                 (2.28)

Аналогично определяются и коэффициенты bk, ck.

Интеграл (2.13) после подстановки функций S( ), S( ), D( ) в пределах  =0 Image91 1 по формулам (2.25), (2.26), (2.27) имеет решение, которое можно представить в матричной форме:

Image2331

где Si, Sj – матрицы-столбцы из трех равноотстоящих ординат эпюр Si, Sj на участке. Матрица податливости G – квадратная размером 3x 3:

Image2332                                                         (2.30)

Матрица G симметрична относительно главной диагонали, элементы ее определяются по формулам:

Image2333                               (2.31)

В выражениях (2.31)                              Image2334 .                              (2.32)

Здесь Image2335 при Image2336 , Image2337 (см. рис. 2.13).

Для случая, если в выражении (2.31) какая-либо функция линейна, формирование матрицы податливости упрощается.

Значения элементов Image2338 матрицы податливости (2.30) при различных сочетаниях  1,  2 в диапазоне от 0,05 до 2 с интервалом 0,05 приведены в работе [16].

При вычислении перемещений в стержневой системе от изгибных деформаций должны быть просуммированы результаты перемножения эпюр по всем участкам.      В матричной форме это выполняется операцией Image2339 с полными матрицами M1, M0, G. Полные матрицы формируются из соответствующих матриц для каждого участка.

Если расчетная схема состоит их нескольких стержней и имеет n участков на эпюрах Image2340 , Image2341 , Image2342 и Image2343 , Image2344 , Image2345 , соответствующих приведенным на рис. 2.11, 2.12, а жесткости каждого участка постоянны, то при определении m различных перемещений от p загружений матрицы M1, M0, G формируются из блоков (2.20), (2.23) (рис. 2.14).

Порядок матрицы Image2346 и искомой матрицы  = СМ0 показан на рис. 2.15.

2.14.1.gif (3591 bytes)

 

2.14.2.gif (3184 bytes)

2.14.3.gif (3830 bytes)

Рис. 2.14. Структура исходных матриц Image2349 , Image2350 , Image2351

2.15.gif (3890 bytes)

Рис. 2.15. Порядок матрицы С и матрицы перемещений 

    Пример 2.4. Требуется определить вектор перемещений узла С рамы (рис. 2.16) по матричной формуле

2.16.gif (3332 bytes)  

Image2352 .

Решение.

1. Покажем вспомогательные состояния рамы, нагружая ее единичными силами по направлению определяемых перемещений, и строим эпюры Image2353 , Image2354 , Image2355 от этих загружений (рис. 2.17, а, б, в), эпюру Image2356 от заданной нагрузки (рис. 2.17, г).

    2.17.gif (5574 bytes)

2.18.gif (2698 bytes)  

2. Назначим количество расчетных сечений исходя из вида эпюр Image2357 , Image2358 , Image2359 , Image2360 и заданных жесткостей стержней рамы.

Для решаемой задачи необходимо принять 5 сечений (рис. 2.18). Объединять сечения 2 и 3 в одно сечение нельзя, потому что жесткости стержней, сходящихся в узле В, различны.

Необходимо условиться с определением знака ординат. В данной задаче эпюры моментов расположены с внешней стороны контура рамы, эти ординаты и принимаем положительными.

3. Формируем матрицы столбцов M1, M0

Image2361

    Формируем матрицу податливости G для каждого участка.

    На участке 1–2 все эпюры линейны, поэтому матрица податливости этого участка квадратная 2 x 2 записывается по формуле (2.20):

Image2362

    На участке ВС с криволинейной эпюрой Image2360матрица податливости будет иметь размеры 3 x 3 по формуле (2.23):

Image2363.

    При объединении автономных блоков матрицы податливости для каждого участка в общую матрицу податливости для всей рамы необходимо сделать единый множитель перед всеми блоками. Для этого G12 преобразуем так:

Image2364.

    Полная матрица податливости при определении вектора перемещений узла С для заданной рамы

Image2365.

    5. Выполняем матричные операции алгоритма Image2366, перемножая вначале первые две матрицы. Полученное произведение матриц обозначим матрицей Image2367

Image2368

    Произведение матриц Image2369дает искомый вектор перемещений:

Image2370

    Матричный алгоритм вычисления перемещений рационален при его реализации на ПЭВМ, поскольку при этом используются стандартные программы матричных операций, к тому же блок матрицы перемещений Image2371входит в единый автоматизированный матричный алгоритм расчета статически неопределимых систем на ПЭВМ:

                                    Image2372.gif (1422 bytes),                                   (2.33)

об использовании которого при расчете неразрезных балок см. разд. 9.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *