Принадлежность прямой плоскости

Сформулируем условие принадлежности прямой плоскости как аксиомы:

Аксиома 1. Прямая принадлежит плоскости, если две её точки принадлежат этой плоскости.

Аксиома 2. Прямая принадлежит плоскости, если имеет с плоскостью одну общую точку и параллельна какой-либо прямой расположенной в этой плоскости.

Проиллюстрируем примерами использование этих аксиом.

Задача. Дана плоскость (n,k) и одна проекция прямой m2 (рис.53).

Требуется найти недостающие проекции прямой m, если известно, что она принадлежит плоскости, заданной пересекающимися прямыми n и k.

Проекция прямой m2 пересекает проекции прямых n2 и k2 в точках В2 и С2 соответственно. Для нахождения недостающих проекций прямой необходимо найти недостающие проекции точек В и С как точек, лежащих на прямых n и k соответственно.

Таким образом, точки В и С принадлежат плоскости, заданной пересекающимися прямыми n и k, а прямая m проходит через эти точки, значит, согласно аксиоме 1, прямая принадлежит этой плоскости.

а) модель б) эпюр

Рисунок 53. Прямая и плоскость имеют две общие точки

Задача. Через точку В провести прямую m, если известно, что она принадлежит плоскости заданной пересекающимися прямыми n и k (рис.54).

Пусть точка В принадлежит прямой n, лежащей в плоскости заданной пересекающимися прямыми n и k. Через проекцию В2 проведем проекцию прямой m2 параллельно прямой k2, для нахождения недостающих проекций прямой необходимо построить проекцию точки В1, как точки лежащей на проекции прямой n1 и через неё провести проекцию прямой m1 параллельно проекции k1.

Таким образом, точка В принадлежит плоскости, заданной пересекающимися прямыми n и k, а прямая m проходит через эту точку и параллельна прямой k, значит согласно аксиоме 2 прямая принадлежит этой плоскости.

а) модель б) эпюр

Рисунок 54. Прямая имеет с плоскостью одну общую точку и параллельна прямой расположенной в этой плоскости

Взаимное расположение точки и плоскости

Возможны два варианта взаимного расположения точки и плоскости: либо точка принадлежит плоскости, либо нет.

Если точка принадлежит плоскости, то из трех проекций, определяющих положение точки в пространстве, произвольно задать можно только одну.

Рассмотрим пример (рис.62). Построение проекции точки А принадлежащей плоскости общего положения заданной двумя параллельными прямыми a(a//b).

Задача. Дано: плоскость a(а,b) и фронтальная проекция точки А.

Требуется построить горизонтальную проекцию точки А, если известно, что она лежит в плоскости a(а,b).

а) модель б) эпюр

Рисунок 62. Точка, принадлежащая плоскости

Через точку А2 проведем проекцию прямой m2, пересекающую проекции прямых a2 и b2 в точках С2 и В2 (СÎa,BÎaÞ mÎa). Построив проекции точек С1 и В1, определяющие положение m1, находим горизонтальную проекцию точки А (А1Î m1, m ÎaÞ АÎa).

Точка, лежащая в данной плоскости

Если необходимо построить некоторую точку в данной плоскости Р, то нужно предварительно провести в этой плоскости одну из прямых и на ней взять искомую точку.

Если задача обратная, т. е. необходимо узнать, лежит ли данная точка в плоскости Р, то нужно провести через эту точку какую-нибудь прямую, лежащую в этой плоскости. Если такую прямую провести нельзя, то исследуемая точка М не лежит в плоскости Р.

Часто в качестве вспомогательной прямой применяют горизонталь или фронталь, хотя можно применять и прямые общего положения.

Покажем построение в плоскости Р произвольной точки (рис. 44).

Для выполнения задания необходимо провести любую горизонталь Г этой плоскости и на ней выбрать некоторую точку М. Данная точка принадлежит плоскости, следовательно, задача выполнена.