Расчетные схемы для балок

Здесь представлены расчетные схемы, различные виды действующих нагрузок, эпюры сил, отображающие характер изменения касательных напряжений, эпюры изгибающих моментов, отображающие характер изменения нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении балки, а также формулы для определения опорных реакций, действующего изгибающего момента, максимального изгибающего момента, формулы для определения прогиба балки на расстоянии х от начала балки и формулы для определения максимального прогиба балки, а также формулы для определения тангенса угла поворота поперечного сечения на опорах и на концах — для консольных балок. Классификация производилась не по действующим нагрузкам, а по виду опор балки. В данном разделе представлены статически определимые балки.

Ось х, относительно которой производятся расчеты изгибающего момента и прогиба, соответствует продольной оси, проходящей через центр тяжести поперечных сечений балки. Значение момента инерции I следует определять относительно оси z (см. сводный сортамент).

Если в таблицах отсутствует формула для определения прогиба на каком-то из участков балки (из-за чрезмерной длины формулы), то опять же ее можно вывести, дважды должным образом проинтегрировав уравнение изгибающего момента, разделив результат на EI и добавив к этому результат интегрирования угла поворота. Данный метод решения проблемы называется методом начальных параметров.

В общем виде уравнение для определения углов поворота выглядит так:

θ_х = — θ_A + М_Ах/EI + Ax²/2EI — qx³/6ЕI (173.1)

например, для шарнирной балки, к которой приложена сосредоточенная нагрузка (таблица 1, №1.1, момент и распределенная нагрузка отсутствуют) на участке от начала балки до точки приложения силы (0 < x < l/2) уравнение будет иметь вид:

θ_х = — θ_A + Ax²/2EI = — Ql²/16EI + Qx²/4EI = Q(4x² — l²)/16EI (173.2)

Соответственно в общем виде уравнение для определения прогиба выглядит так:

f_х = — θ_Ax + Мх²/2EI + Ax³/6EI — qx⁴/24ЕI (173.3)

для той же шарнирной балки на участке от начала балки до точки приложения силы (0 < x < l/2) уравнение будет иметь вид:

f_х = — θ_Ax + Ax³/6EI = — Ql²x/16EI + Qx³/12EI = Qx(4x² — 3l²)/48EI (173.4)

На участке от точки приложения силы до конца балки (l/2 < x < l) уравнение будет иметь вид:

f_х = — θ_Ax + Ax³/6EI — Q(x — l/2)³/6EI (173.5)

Эпюры углов поворота и прогибов поперечного сечения по длине балки не приводятся. Если в формуле прогиба есть знак минус, то это значит, что балка прогибается вниз (что в общем-то логично), а если быть более точным, то центр тяжести поперечного сечения смещается вниз по оси у.

Представленные расчетные схемы позволяют рассчитать балку практически при любом возможном виде нагрузки. Если на балку действует несколько различных нагрузок, то можно производить отдельный расчет для каждой схемы загружения, а затем полученные результаты сложить (с учетом знаков). Это правило называется принципом суперпозиции и в некоторых случаях значительно упрощает общий расчет, а также экономит уйму времени на поиск в сети подходящей расчетной схемы.

Отдельно приводится пример расчета балки при общем случае загружения несколькими сосредоточенными нагрузками, приложенными несимметрично, по двум вариантам: упрощенному и полному. Сделал я это для наглядности, потому что устал каждый раз объяснять, что не всегда есть большая необходимость в точных расчетах.

Кроме того, для людей, оснащенных планшетами, айфонами и прочими современными гаджетами, всегда есть возможность скачать программу, значительно упрощающую расчеты. Често скажу, это не моя программа, тем не менее создателю этого програмного обеспечения я искренне благодарен.

Таблица 1. Балка на двух шарнирных опорах.